Wzajemne położenie prostych i płaszczyzn

Kąty między płaszczyznami oraz prostymi

Kąt między dwiema prostymi to kąt ostry (lub prosty, gdy proste są prostopadłe) utworzony przez wektory kierunkowe tych prostych.
Kąt między dwiema płaszczyznami (zob. Rys. 6a) to kąt ostry (lub prosty, gdy płaszczyzny są prostopadłe) utworzony przez wektory normalne tych płaszczyzn (zob. Rys. 6b).

Rysunek 1: Kąt między płaszczyznami.

Kąt między prostą i płaszczyzną (zob. Rys. 7a), to kąt o mierze \( \frac{\pi}{2}-\alpha, \) gdzie \( \alpha \) to miara kąta ostrego (lub prostego, gdy prosta i płaszczyzna są równoległe) jaki tworzą wektor kierunkowy prostej oraz wektor normalny płaszczyzny (zob. Rys. 7b).

Rysunek 2: Kąt między prostą i płaszczyzną

Uwaga 1:

Znając wektory normalne płaszczyzn oraz wektory kierunkowe prostych, szukane miary kątów pomiędzy dwiema płaszczyznami, dwiema prostymi lub pomiędzy prostą i płaszczyzną można łatwo wyliczyć wykorzystując stosowne własności iloczynu skalarnego wektorów.

Odległość punktu od płaszczyzny

Odległość punktu \( P\left( x_{0},y_{0},z_{0}\right) \) od płaszczyzny \( \pi:Ax+By+Cz+D=0 \) wyraża się wzorem (zob. Rys. 8a)

(1)

\( d \left( P,\pi\right)=\frac{\left\vert Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D\right\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}. \)

Rysunek 3: Odległości: a) punktu od płaszczyzny, b) punktu od prostej.

Odległość punktu od prostej

\( h\cdot \left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert=\left\Vert \overrightarrow{P_{0}P}\times \overrightarrow{v}\right\Vert \)

Poszukiwana odległość \( d(P,l) \) punktu \( P \) od prostej \( l \), równa wysokości \( h \) równoległoboku rozpiętego przez wektory \( \overrightarrow{v} \) oraz \( \overrightarrow{P_0P} \), wyraża się więc wzorem:

(2)

\( d\left( P,l\right) =\frac{\left\Vert \overrightarrow{P_{0}P}\times\overrightarrow{v}\right\Vert }{\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert} \)

Odległość prostej od płaszczyzny

Niech \( \pi \) będzie płaszczyzną o wektorze normalnym \( \overrightarrow{n} \), a \( l \) prostą o wektorze kierunkowym \( \overrightarrow{v} \). Aby odległość prostej \( l \) od płaszczyzny \( \pi \) była niezerowa (tj. aby prosta nie przecinała płaszczyzny) wektory \( \overrightarrow{n} \) i \( \overrightarrow{v} \) muszą być prostopadłe. W takiej sytuacji, odległość prostej od płaszczyzny jest równa odległości dowolnego punkty prostej od płaszczyzny. Aby wyznaczyć tę odległość, wybieramy dowolny punkt prostej, następnie stosujemy wzór ( 4 ).

Przykład 1: Wyznaczanie odległości prostej od płaszczyzny

Rozważmy płaszczyznę \( \pi:2x+y-2z+4=0 \) oraz prostą

\( l:\hspace{1em} \left\{\begin{array}{l}x=1+t\\y=2-4t\\z=-t\end{array}\right. ,\hspace{1em} t\in\mathbb{R}\text{.} \)

Aby wyznaczyć odległość prostej od płaszczyzny musimy sprawdzić, czy mają one wspólny punkt. Podstawiając równania prostej do równania płaszczyzny otrzymujemy równanie sprzeczne

\( 0=2\left( 1+t\right) +2-4t-2\left( -t\right) +4=8. \)

Oznacza to, że prosta \( l \) nie ma punktów wspólnych z płaszczyzną \( \pi \) - prosta i płaszczyzna muszą więc być równoległe. Do tego samego wniosku dojdziemy licząc iloczyn skalarny wektora normalnego płaszczyzny \( \overrightarrow{n}=\left( 2,1,-2\right) \) oraz wektora kierunkowego prostej \( \overrightarrow{v}=\left( 1,-4,-1\right) \):

\( \overrightarrow{n}\circ\overrightarrow{v}=2\cdot 1+1\cdot(-4)+(-2)\cdot(-1)=0, \)

co oznacza, że \( \overrightarrow{n}\bot\overrightarrow{v} \). Odległość prostej \( l \) od płaszczyzny \( \pi \) jest więc taka sama jak odległość dowolnego punktu prostej, np. \( P\left( 1,2,0\right) \), od płaszczyzny \( \pi \). Na podstawie wzoru ( 4 ) mamy

\( d \left( \pi,l \right) =d \left( \pi, P \right) =\frac{\left\vert 2\cdot1+1\cdot2-2\cdot0+4\right\vert }{\sqrt{ 2^{2}+1^{2}+\left( -2\right) ^{2}}}=\frac{8}{3}\text{.} \)

Odległość między płaszczyznami

Rozważmy dwie płaszczyzny równoległe \( \pi_1 \) oraz \( \pi_2 \) o wspólnym wektorze normalnym \( \overrightarrow{n}=(A,B,C) \), tj.:

\( \begin{array}{l} \pi_{1} : Ax+By+Cz+D_{1}=0\\ \ \\\pi_{2}:Ax+By+Cz+D_{2}=0\end{array}. \)

Odległość między płaszczyznami \( \pi_1 \) oraz \( \pi_2 \) (zob. Rys. 9 ) wyraża się wówczas wzorem

\( d\left( \pi_{1},\pi_{2}\right) =\frac{\left\vert D_{1}-D_{2}\right\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}. \)

Rysunek 4: Odległość między równoległymi płaszczyznami.

Uwaga 2:

Wektory normalne dwóch równoległych płaszczyzn są równoległe. Ponieważ dwa wektory równoległe \( \overrightarrow{n_1} \) oraz \( \overrightarrow{n_2} \) są proporcjonalne, tj. \( \overrightarrow{n_1}=\alpha\cdot\overrightarrow{n_2} \), dla pewnej stałej \( \alpha\in\mathbb{R} \), zatem możemy przyjąć (jak w powyższym wzorze), że płaszczyzny równoległe mają wspólny wektor normalny.

Przykład 2: Wyznaczanie odległości między płaszczyznami

Rozważmy dwie płaszczyzny: płaszczyznę \( \pi_1 \) o równaniu\[ 3x-6y+2z-4=0\] oraz płaszczyznę \( \pi_2 \) o równaniu

\( -6x+12y-4z-6=0. \)

Wektory normalne tych płaszczyzn, równe odpowiednio \( \overrightarrow{n_1}=(3,-6,2) \) oraz \( \overrightarrow{n_2}=(-6,12,-4) \), łączy zależność \( \overrightarrow{n_2}=-2\cdot \overrightarrow{n_1} \) z której wynika, że płaszczyzny \( \pi_1 \) oraz \( \pi_2 \) są równoległe. Aby wyznaczyć odległość pomiędzy nimi, musimy zapisać je w postaci kanonicznej o wspólnym wektorze normalnym. W tym celu równanie określające płaszczyznę \( \pi_2 \) zapiszemy w równoważnej postaci \[3x-6y+2z+3=0.\] Stąd

\( d\left( \pi_{1},\pi_{2}\right) =\frac{\left\vert -4-3\right\vert}{\sqrt{3^{2}+(-6)^{2}+2^{2}}}=\frac{7}{\sqrt{49}}=1. \)

Odległość między prostymi

Niech \( l_{1} \) (odpowiednio \( l_{2} \)) będzie prostą przechodzącą przez punkt \( P_{1} \) (odpowiednio \( P_{2} \) ) równoległą do wektora \( \overrightarrow{v_{1}} \) (odpowiednio \( \overrightarrow{v_{2}} \)).

Proste równoległe

Przypuśćmy, że proste \( l_1 \) oraz \( l_2 \) są równoległe. Możemy wówczas przyjąć (nie tracąc ogólności), że proste te mają wspólny wektor kierunkowy, tj. \( \overrightarrow{v_1} =\overrightarrow{v_2} \). W celu wyznaczenia odległości pomiędzy prostymi \( l_1 \) oraz \( l_2 \), wystarczy na jednej z tych prostych, powiedzmy na prostej \( l_2 \), wybrać dowolny punkt \( P_2 \), następnie, korzystając ze wzoru ( 5 ) na odległość punktu od prostej, wyznaczyć odległość prostej \( l_1 \) od punktu \( P_2 \). Otrzymana wartość, równa odległości między równoległymi prostymi \( l_1 \) oraz \( l_2 \), wyraża się wzorem:

\( d\left( l_{1},l_{2}\right) =\frac{\left\Vert \overrightarrow{P_{2}P_{1}}\times\overrightarrow{v_{1}}\right\Vert}{\left\Vert \overrightarrow{v_{1}}\right\Vert }. \)

Proste skośne

Przypuśćmy, że proste \( l_{1} \) i \( l_{2} \) nie są równoległe. Oznacza to, że wektory kierunkowe tych prostych, równe odpowiednio \( \overrightarrow{v_{1}} \) oraz \( \overrightarrow{v_{2}} \), spełniają warunek

\( \overrightarrow{v_{1}}\times\overrightarrow{v_{2}}\neq\overrightarrow{0}. \)

Z wektorów \( \overrightarrow{v_{1}} \), \( \overrightarrow{v_{2}} \) oraz \( \overrightarrow{P_{2}P_{1}} \) możemy zatem utworzyć równoległościan (zob. Rys. 10 ), którego objętość, równa iloczynowi pola podstawy \( \left\Vert\overrightarrow{v_{1}}\times\overrightarrow{v_{2}}\right\Vert \) i wysokości \( h \), można również wyrazić przy pomocy iloczynu mieszanego trójki wektorów \( \overrightarrow{v_{1}} \), \( \overrightarrow{v_{2}} \) oraz \( \overrightarrow{P_{2}P_{1}} \):

\( h\cdot\left\Vert\overrightarrow{v_{1}}\times\overrightarrow{v_{2}}\right\Vert = \left\vert\left( \overrightarrow{P_{2}P_{1}},\overrightarrow{v_{1}},\overrightarrow{v_{2}}\right) \right\vert. \)

Poszukiwana odległość \( d(l_1,l_2) \) pomiędzy prostymi skośnymi \( l_1 \) oraz \( l_2 \), równa wysokość \( h \) równoległościanu rozpiętego przez wektory \( \overrightarrow{v_{1}} \), \( \overrightarrow{v_{2}} \) oraz \( \overrightarrow{P_{2}P_{1}} \), wyraża się więc wzorem:

(3)

\( d\left( l_{1},l_{2}\right) =\frac{\left\vert\left( \overrightarrow{P_{2}P_{1}},\overrightarrow{v_{1}},\overrightarrow{v_{2}}\right) \right\vert}{\left\Vert\overrightarrow{v_{1}}\times\overrightarrow{v_{2}}\right\Vert}. \)

Rysunek 5: Odległość między prostymi skośnymi.

Przykład 3: Wyznaczanie odległości między prostymi skośnymi

Rozważmy cztery punkty \( A\left( 0,1,0\right) , \) \( B\left( -1,2,1\right), \) \( C\left( 1,0,1\right) , \) \( D\left( 1,-1,1\right) \). Proste \( l_{AB} \) oraz \( l_{CD} \) przechodzące odpowiednio przez punkty \( A,B \) oraz \( C,D \) mają postać

\( l_{AB}:\left\{\begin{array}{l}x=t\\y=1+t\\z=t\end{array}\right. \hspace{1em} \left( t\in\mathbb{R}\right) \hspace{1em} \text{oraz} \hspace{1em} l_{CD}:\left\{\begin{array}{l}x=1\\y=-t\\z=1\end{array}\right. \hspace{1em} \left( t\in\mathbb{R}\right). \)

Ich wektory kierunkowe \( \overrightarrow{AB}=\left( -1,1,1\right) \) oraz \( \overrightarrow{CD}=\left(0,-1,0\right) \) nie są równoległe, zatem proste te są skośne. Odległość między nimi wyznaczymy ze wzoru ( 6 ):

\( d\left( l_{AB},l_{CD}\right) =\frac{\left\vert \left( \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right) \right\vert }{\left\Vert \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD}\right\Vert }. \)

Mamy

\( \left( \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right)=\left\vert\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1\\ -1 & 1 & 1\\0 & -1 & 0\end{array}\right\vert =2 \)

oraz

\( \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD}=\left\vert\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\-1 & 1 & 1\\0 & -1 & 0\end{array}\right\vert =\left( 1,0,1\right). \)

Ostatecznie

\( d\left( l_{AB},l_{CD}\right) =\frac{2}{\left\Vert \left( 1,0,1\right)\right\Vert }=\sqrt{2}\text{.}% \)

Kąty między płaszczyznami oraz prostymi

Rysunek 6: Kąt między płaszczyznami.

Rysunek 7: Kąt między prostą i płaszczyzną

Uwaga 3:

Odległość punktu od płaszczyzny

Odległość punktu \( P\left( x_{0},y_{0},z_{0}\right) \) od płaszczyzny \( \pi:Ax+By+Cz+D=0 \) wyraża się wzorem (zob. Rys. 8a)

(4)

\( d \left( P,\pi\right)=\frac{\left\vert Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D\right\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}. \)

Rysunek 8: Odległości: a) punktu od płaszczyzny, b) punktu od prostej.

Odległość punktu od prostej

Rozważmy punkt \( P \) oraz prostą \( l \) przechodzącą przez punkt \( P_{0} \) i równoległą do wektora \( \overrightarrow{v} \) . Przypuśćmy, że punkt \( P \) nie leży na prostej \( l \). Wówczas, wektory \( \overrightarrow{P_0P} \) oraz \( \overrightarrow{v} \) tworzą równoległobok (zob. Rys. 8b). Pole tego równoległoboku, równe iloczynowi długości podstawy \( \left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert \) i wysokości \( h \), możemy obliczyć również wykorzystując stosowną własność iloczynu wektorowego:
\( h\cdot \left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert=\left\Vert \overrightarrow{P_{0}P}\times \overrightarrow{v}\right\Vert. \)
Poszukiwana odległość \( d(P,l) \) punktu \( P \) od prostej \( l \) , równa wysokości \( h \) równoległoboku rozpiętego przez wektory \( \overrightarrow{v} \) oraz \( \overrightarrow{P_0P} \) , wyraża się więc wzorem:

(5)

\( d\left( P,l\right) =\frac{\left\Vert \overrightarrow{P_{0}P}\times\overrightarrow{v}\right\Vert }{\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert }. \)

Odległość prostej od płaszczyzny

Niech \( \pi \) będzie płaszczyzną o wektorze normalnym \( \overrightarrow{n} \), a \( l \) prostą o wektorze kierunkowym \( \overrightarrow{v} \) . Aby odległość prostej \( l \) od płaszczyzny \( \pi \) była niezerowa (tj. aby prosta nie przecinała płaszczyzny) wektory \( \overrightarrow{n} \) i \( \overrightarrow{v} \) muszą być prostopadłe. W takiej sytuacji, odległość prostej od płaszczyzny jest równa odległości dowolnego punkty prostej od płaszczyzny. Aby wyznaczyć tę odległość, wybieramy dowolny punkt prostej, następnie stosujemy wzór ( 4 ).

Przykład 4: Wyznaczanie odległości prostej od płaszczyzny

Rozważmy płaszczyznę \( \pi:2x+y-2z+4=0 \) oraz prostą

\( l:\hspace{1em} \left\{\begin{array}{l}x=1+t\\y=2-4t\\z=-t\end{array}\right. ,\hspace{1em} t\in\mathbb{R}\text{.} \n \)

Aby wyznaczyć odległość prostej od płaszczyzny musimy sprawdzić, czy mają one wspólny punkt. Podstawiając równania prostej do równania płaszczyzny otrzymujemy równanie sprzeczne

\( 0=2\left( 1+t\right) +2-4t-2\left( -t\right) +4=8. \)

\( \overrightarrow{n}\circ\overrightarrow{v}=2\cdot 1+1\cdot(-4)+(-2)\cdot(-1)=0, \)

\( d \left( \pi,l \right) =d \left( \pi, P \right) =\frac{\left\vert 2\cdot1+1\cdot2-2\cdot0+4\right\vert }{\sqrt{ 2^{2}+1^{2}+\left( -2\right) ^{2}}}=\frac{8}{3}\text{.} \)

Odległość między płaszczyznami

Rozważmy dwie płaszczyzny równoległe \( \pi_1 \) oraz \( \pi_2 \) o wspólnym wektorze normalnym \( \overrightarrow{n}=(A,B,C) \), tj.:

\( \begin{array}{l} \pi_{1} : Ax+By+Cz+D_{1}=0\\ \ \\\pi_{2}:Ax+By+Cz+D_{2}=0\end{array}. \)

Odległość między płaszczyznami \( \pi_1 \) oraz \( \pi_2 \) (zob. Rys. 9 ) wyraża się wówczas wzorem

\( d\left( \pi_{1},\pi_{2}\right) =\frac{\left\vert D_{1}-D_{2}\right\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}. \)

Rysunek 9: Odległość między równoległymi płaszczyznami.

Uwaga 4:

Przykład 5: Wyznaczanie odległości między płaszczyznami

Rozważmy dwie płaszczyzny: płaszczyznę \( \pi_1 \) o równaniu \[ 3x-6y+2z-4=0\] oraz płaszczyznę \( \pi_2 \) o równaniu \[-6x+12y-4z-6=0.\] Wektory normalne tych płaszczyzn, równe odpowiednio \( \overrightarrow{n_1}=(3,-6,2) \) oraz \( \overrightarrow{n_2}=(-6,12,-4) \), łączy zależność \( \overrightarrow{n_2}=-2\cdot \overrightarrow{n_1} \), z której wynika, że płaszczyzny \( \pi_1 \) oraz \( \pi_2 \) są równoległe. Aby wyznaczyć odległość pomiędzy nimi, musimy zapisać je w postaci kanonicznej o wspólnym wektorze normalnym. W tym celu równanie określające płaszczyznę \( \pi_2 \) zapiszemy w równoważnej postaci

\( 3x-6y+2z+3=0. \)

Stąd

\( d\left( \pi_{1},\pi_{2}\right) =\frac{\left\vert -4-3\right\vert}{\sqrt{3^{2}+(-6)^{2}+2^{2}}}=\frac{7}{\sqrt{49}}=1. \)

Odległość między prostymi

Niech \( l_{1} \) (odpowiednio \( l_{2} \)) będzie prostą przechodzącą przez punkt \( P_{1} \) (odpowiednio \( P_{2} \)) równoległą do wektora \( \overrightarrow{v_{1}} \) (odpowiednio \( \overrightarrow{v_{2}} \)).

Proste równoległe

Przypuśćmy, że proste \( l_1 \)oraz \( l_2 \) są równoległe. Możemy wówczas przyjąć (nie tracąc ogólności), że proste te mają wspólny wektor kierunkowy, tj. \( \overrightarrow{v_1} =\overrightarrow{v_2} \). W celu wyznaczenia odległości pomiędzy prostymi \( l_1 \) oraz \( l_2 \), wystarczy na jednej z tych prostych, powiedzmy na prostej \( l_2 \), wybrać dowolny punkt \( P_2 \), następnie, korzystając ze wzoru ( 5 ) na odległość punktu od prostej, wyznaczyć odległość prostej \( l_1 \) od punktu \( P_2 \). Otrzymana wartość, równa odległości między równoległymi prostymi \( l_1 \) oraz \( l_2 \), wyraża się wzorem:

\( d\left( l_{1},l_{2}\right) =\frac{\left\Vert \overrightarrow{P_{2}P_{1}}\times\overrightarrow{v_{1}}\right\Vert}{\left\Vert \overrightarrow{v_{1}}\right\Vert }. \)

Proste skośne

\( \overrightarrow{v_{1}}\times\overrightarrow{v_{2}}\neq\overrightarrow{0} \)

Z wektorów \( \overrightarrow{v_{1}} \), \( \overrightarrow{v_{2}} \) oraz
\( \overrightarrow{P_{2}P_{1}} \) możemy zatem utworzyć równoległościan (zob. Rys. 10 ), którego objętość, równa iloczynowi pola podstawy \( \left\Vert\overrightarrow{v_{1}}\times\overrightarrow{v_{2}}\right\Vert \) i wysokości \( h \), można również wyrazić przy pomocy Iloczyn mieszany-Zastosowanie iloczynu mieszanego trójki wektorów \( \overrightarrow{v_{1}} \), \( \overrightarrow{v_{2}} \) oraz \( \overrightarrow{P_{2}P_{1}} \)

\( h\cdot\left\Vert\overrightarrow{v_{1}}\times\overrightarrow{v_{2}}\right\Vert = \left\vert\left( \overrightarrow{P_{2}P_{1}},\overrightarrow{v_{1}},\overrightarrow{v_{2}}\right) \right\vert. \)

(6)

Rysunek 10: Odległość między prostymi skośnymi.

Przykład 6: Wyznaczanie odległości między prostymi skośnymi

Rozważmy cztery punkty \( A\left( 0,1,0\right) \), \( B\left( -1,2,1\right) \), \( C\left( 1,0,1\right) \), \( D\left( 1,-1,1\right) \). Proste \( l_{AB} \) oraz \( l_{CD} \) przechodzące odpowiednio przez punkty \( A,B \) oraz \( C,D \) mają postać

Mamy

\( \left( \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right)=\left\vert\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1\\-1 & 1 & 1\\0 & -1 & 0\end{array}\right\vert =2 \)

oraz

Ostatecznie

\( d\left( l_{AB},l_{CD}\right) =\frac{2}{\left\Vert \left( 1,0,1\right)\right\Vert }=\sqrt{2}\text{.}% \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Wzajemne położenie prostych i płaszczyzn

Kąty między płaszczyznami oraz prostymi

Uwaga 1:

Odległość punktu od płaszczyzny

Odległość punktu od prostej

Odległość prostej od płaszczyzny

Przykład 1: Wyznaczanie odległości prostej od płaszczyzny

Odległość między płaszczyznami

Uwaga 2:

Przykład 2: Wyznaczanie odległości między płaszczyznami

Odległość między prostymi

Proste równoległe

Proste skośne

Przykład 3: Wyznaczanie odległości między prostymi skośnymi

Kąty między płaszczyznami oraz prostymi

Uwaga 3:

Odległość punktu od płaszczyzny

Odległość punktu od prostej

Odległość prostej od płaszczyzny

Przykład 4: Wyznaczanie odległości prostej od płaszczyzny

Odległość między płaszczyznami

Uwaga 4:

Przykład 5: Wyznaczanie odległości między płaszczyznami

Odległość między prostymi

Proste równoległe

Proste skośne

Przykład 6: Wyznaczanie odległości między prostymi skośnymi